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Probabilidades y ventaja de la casa en Blackjack explicadas: Una perspectiva matemática
Dr Catalin Barboianu
Doctor en Matemáticas y Filósofo de la Ciencia
- Doctor en Filosofía de la Ciencia por la Universidad de Bucarest, especializado en filosofía de las matemáticas;
- Matemático especializado en juegos y matemáticas de apuestas;
- Investigador independiente en filosofía, matemáticas aplicadas, psicología cognitiva y conductual (juego problemático);
- Especializado en matemáticas de casino y juego responsable;
- Autor de artículos revisados en importantes publicaciones de juegos de azar como casino.org y revistas científicas como Aeon y American Scientist.
- Propietario de probability.infarom.ro, un sitio web dedicado a la teoría de la probabilidad y sus aplicaciones;
- Fundador de la organización PhilScience;
- Autor de 10 libros sobre matemáticas de juegos de azar desde 2013.
Vlad Mihalache
Especialista en Juegos de Azar Online y Cripto Casinos
- Estratega de contenido y editor consumado con más de 8 años de experiencia en la industria iGaming;
- Experto Certificado en Criptomonedas (CCE);
- Especializado en estrategias de blackjack, tragamonedas, cripto casinos y adicción al juego;
- Experto en casinos con Bitcoin con amplios conocimientos en comercio de criptomonedas y juegos en blockchain;
- Experto en juegos de azar online con más de 7,000 artículos escritos y revisados;
- Firme defensor del juego responsable con conocimiento profundo de las últimas tendencias.
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36 min
Actualizado el Sep 30, 2024
Entre los juegos de casino, el blackjack tiene la reputación de ofrecer las mejores probabilidades para vencer a la casa.
Es lo que los teóricos del juego llaman un juego casi justo, dado que es realmente simétrico para los jugadores y la casa (el crupier).
Además, algunos elementos asimétricos del juego tienden a favorecer al jugador:
- El jugador conoce la primera carta del crupier antes de comenzar a jugar;
- El crupier no tiene permitido dividir ni doblar;
- El jugador recibe un pago de una vez y media la apuesta original si logra un blackjack, en la versión clásica del juego.
Como en cualquier juego de azar, los eventos del blackjack tienen probabilidades y probabilidades asociadas.
Es esta información matemática la que se usa para evaluar la ventaja del jugador en varios momentos del juego y para idear estrategias objetivas.
La aparente ventaja del jugador en el blackjack no podría materializarse sin el uso de esta información matemática.
En esta guía aprenderás qué son las probabilidades y la ventaja de la casa en el blackjack, y cómo varían con el progreso del juego, pero también con las reglas o versiones del juego.
También encontrarás qué situaciones son favorables para el jugador y cuáles no, en relación con las probabilidades del blackjack y cuáles son los roles de las probabilidades para evaluar tu ventaja y tomar acciones estratégicas.
Aquí están los temas principales cubiertos en esta guía:
- Valor esperado y ventaja de la casa
- Ventaja de la casa en el Blackjack
- Definición de probabilidades
- Por qué es importante conocer las probabilidades del Blackjack
- Probabilidades de pago en el Blackjack
Sin más preámbulos, ¡vamos a sumergirnos!
Valor esperado y ventaja de la casa
La probabilidad y la tasa de pago dan lo que se llama el valor esperado (o expectativa matemática o, simplemente, expectativa) de una apuesta (VE), según la fórmula general:
EV = (probabilidad de ganar) × (pago si ganas) + (probabilidad de perder) × (pérdida si pierdes), donde la pérdida se introduce como un número negativo.
Por ejemplo
Supongamos que tu apuesta es de $1, la primera carta del crupier es 9 y alcanzas 17 puntos.
Si decides quedarte en 17, esta apuesta se caracteriza por los siguientes parámetros:
- la probabilidad de ganar es 0.2284 (ganas $1);
- la probabilidad de empate es 0.12 (no ganas nada);
- la probabilidad de perder es 0.6516 (pierdes $1).
El EV de esa apuesta es 0.2284 x $1 + 0 - 0.6516 x $1 = - 0.4232 $. (Las probabilidades que se muestran aquí están en las tablas de probabilidades en las siguientes secciones.)
Este resultado puede interpretarse como:
Al seguir jugando esta apuesta cuando ocurre esa situación, puedes esperar perder en promedio 42.32 centavos por cada dólar apostado. En esta redacción, promedio se usa en un sentido estadístico y no como un promedio aritmético o media.
La ventaja de la casa (HE) se define como lo opuesto (en signo +/-) del valor esperado: HE = - VE.
La HE se expresa como un porcentaje y se calcula como la relación entre la pérdida promedio y la apuesta inicial. En nuestro ejemplo anterior, la HE de esa apuesta es del 42.32%. La HE también se asocia con un juego, no solo con una apuesta. La HE de un juego es el promedio de las HE de todas las apuestas posibles.
Es lo opuesto en signo de la expectativa general de todas las apuestas posibles, calculado como un promedio estadístico.
La HE se interpreta como la tasa de ganancia que la casa obtiene a largo plazo de las apuestas de los jugadores.
Una HE positiva es la garantía matemática de que la casa no quebrará con ese juego, independientemente de las apuestas que se realicen, las estrategias que se apliquen o la cantidad de jugadores en la mesa.
Es importante señalar que la ventaja de la casa de un juego no es un parámetro fijo y el estilo de juego/apuesta cambia la HE en relación con esa jugada.
Las estrategias óptimas y casi óptimas (para los juegos que las permiten, como el blackjack) reducen la ventaja de la casa.
Ventaja de la casa en el Blackjack
Vimos en la sección introductoria que la ventaja de la casa (HE) es el signo opuesto del valor esperado general (HE = - EV). Este es el promedio estadístico o agregado de las expectativas de todas las apuestas posibles del juego.
En el blackjack, como en cualquier otro juego, la HE representa un indicador estadístico que los jugadores deben conocer para estar informados sobre la pérdida promedio que pueden esperar a largo plazo en relación con sus apuestas.
2 aspectos clave sobre el valor numérico de la ventaja de la casa en el blackjack
- Varía con las variantes y reglas del blackjack vigentes.
- Es diferente entre un jugador que usa una estrategia óptima y un jugador que no usa ninguna.
Como un rango bruto para la ventaja de la casa en el blackjack, podría estar entre 0.1% y 2.7%.
En cuanto al juego estratégico, puede reducir cualquier HE hasta sus límites más bajos con la estrategia básica.
La mayor reducción de la HE se obtiene con una estrategia óptima basada en el conteo de cartas.
Las versiones tradicionales del blackjack tienen una HE inferior al 0.5% con la estrategia básica.
Pero, ¿por qué varía la HE con las reglas o estrategias?
La respuesta está en la definición de HE (o EV), donde se suman productos entre probabilidades y tasas de pago:
- Una vez que cambia una probabilidad, cambia la HE;
- Una vez que cambia una tasa de pago, cambia la HE;
- Una vez que aparece un nuevo producto o se elimina uno de la fórmula, cambia la HE.
Una regla de blackjack impacta en las probabilidades de ganar y perder, ya sea que hablemos del número de mazos utilizados, el modo de barajar y repartir, permitir doblar, el número de manos en las que se puede dividir, rendición tardía, volver a dividir ases, y así sucesivamente.
El pago de blackjack de 6 a 5 cambia la tasa de pago para este evento de 3/2 a 6/5 y, en consecuencia, cambia la HE.
Las versiones tipo bono del blackjack (Bono blackjack, Hi/Lo 13, racha alta, pares perfectos, etc.) también suponen nuevas tasas de pago que entran en la ecuación y, por lo tanto, nuevas ventajas de la casa.
En cuanto a las estrategias óptimas, aumentan la probabilidad de ganar para algunas configuraciones especiales en el progreso del juego, lo que impacta las expectativas y la HE.
La siguiente tabla anota las ventajas de la casa de las versiones más conocidas de blackjack, para la estrategia básica:
| Juego | Ventaja de la Casa |
|---|---|
| Atlantic City Blackjack | 0.36% |
| Blackjack Americano | 0.35% |
| Big 5 Blackjack | 0.47% |
| Blackjack Clásico | 0.13% |
| Double Exposure | 0.69% |
| Blackjack Europeo | 0.42% |
| Pontoon | 0.41% |
| Premier Blackjack | 0.42% |
| Spanish Blackjack | 0.38% |
| Super Fun 21 | 0.94% |
| Vegas Downtown Blackjack | 0.39% |
| Vegas Single Deck | 0.35% |
| Vegas Strip Blackjack | 0.35% |
La siguiente tabla indica el aumento o disminución de la ventaja de la casa según la variación de las reglas, en relación con la ventaja de la casa del blackjack clásico:
| Variación de reglas | Efecto en la ventaja de la casa |
|---|---|
| El blackjack paga 6 a 5 | +1.39% |
| El crupier pide con 17 suave | +0.22% |
| Doblar solo en 10 u 11 | +0.18% |
| No se puede doblar después de dividir | +0.14% |
| Regla europea sin carta oculta | +0.11% |
| Dividir hasta dos manos | +0.10% |
| Doblar solo en 9, 10 u 11 | +0.09% |
| No hay rendición tardía | +0.08% |
| Dividir hasta tres manos | +0.01% |
| Volver a dividir ases | -0.10% |
| Rescate tras doblar (rendirse después de doblar) | -0.10% |
| Pedir o doblar con ases divididos | -0.19% |
| Doblar en cualquier número de cartas | -0.23% |
| El jugador con 21 gana inmediatamente | -0.54% |
| El blackjack paga 2 a 1 | -2.27% |
Separadamente, la siguiente tabla indica el aumento de la ventaja de la casa en relación con un juego de un solo mazo, según el número de mazos utilizados:
| Número de mazos | Ventaja de la casa |
|---|---|
| 2 | +0.412% |
| 4 | +0.556% |
| 5 | +0.584% |
| 6 | +0.603% |
| 8 | +0.627% |
Lo más importante a tener en cuenta es que los jugadores que dominan estrategias óptimas pueden beneficiarse de las menores ventajas de la casa para la misma versión de blackjack.
Solo al observar las tablas anteriores, se puede ver que ciertas combinaciones de reglas dan las menores ventajas de la casa en el rango general.
Obviamente, el blackjack 3:2 es mucho más ventajoso que el blackjack 6:5 y el blackjack 2:1 ofrece la mayor reducción en la HE (-2.27%).
Un juego de un mazo con blackjack 3:2 con cualquiera de las reglas: Tomar o doblar con ases divididos, Doblar en cualquier número de cartas y El jugador con 21 gana inmediatamente es una combinación que reduce la HE de un juego clásico de blackjack con una de las mayores tasas de reducción respecto a las reglas.
Ten en cuenta
La ventaja de la casa en el blackjack depende de la versión del juego, las reglas vigentes y la estrategia adoptada. Es un indicador estadístico de la ganancia de la casa, es decir, de tu pérdida, en relación con tus apuestas a largo plazo.
Se dice que el blackjack ofrece las mejores probabilidades entre los juegos de casino.
Esta afirmación es cierta en términos de la ventaja del jugador o la ventaja de la casa. La ventaja estándar de la casa en blackjack del 0.5% no es una ventaja que se pueda encontrar fácilmente entre los juegos de azar.
Toma por ejemplo la Ruleta Europea, cuya HE es del 2.7%, 5.4 veces mayor que la HE estándar del blackjack o 24.5 veces mayor que la HE del blackjack jugado con estrategia óptima.
La diferencia esencial es que la HE de la ruleta no se puede reducir con estrategias, mientras que la HE del blackjack sí se puede.
Sin embargo, la afirmación de las mejores probabilidades no es cierta si piensas en probabilidades como la probabilidad de ganar. Con este significado de probabilidades, la ruleta ofrece las mayores probabilidades de ganar en los juegos de casino; con algunas apuestas combinadas, se puede alcanzar más del 90% de probabilidades de ganar, aunque esta alta probabilidad se ve contrarrestada por una baja tasa de ganancias.
Este equilibrio entre probabilidad de ganar y ganancia también es un reflejo de la ventaja de la casa, y el blackjack obviamente está a la cabeza de los juegos de casino con la menor HE.
Recuerda
La ventaja que obtienes al reducir la HE mediante un juego estratégico o eligiendo una cierta versión de blackjack no se materializa en uno o pocos juegos, sino a largo plazo, porque la HE incorpora probabilidad y funciona como un promedio estadístico infinito.
Definiendo probabilidades y posibilidades
En los juegos de azar y en general, la probabilidad de un evento se define como la relación entre el número de resultados igualmente posibles que favorecen que ocurra ese evento y el número de todos los resultados igualmente posibles.
El conjunto de estos resultados posibles se llama el espacio muestral. No importa si los resultados se producen con dados, cartas, símbolos o números en carretes, ruedas o pantallas; la probabilidad de un determinado resultado se calcula como una proporción, tal como se describe.
Esta probabilidad se llama probabilidad discreta clásica y es aplicable en todos los juegos de azar. La probabilidad de un evento es siempre un número no negativo menor o igual a 1.
El evento para el cual calculamos la probabilidad es incierto, mientras que la información que utilizamos para este cálculo es cierta.
Examples from blackjack
Ejemplo 1. Juego: Blackjack clásico (una baraja).
Evento (E): Lograr 19, 20 o 21 puntos con la siguiente carta, si la carta visible del crupier es un 4 y tus cartas son Q6.
Los resultados favorables para E son las cartas con valores de 3, 4 y 5, en un número de 11 (cuatro cartas para cada uno de los tres valores menos un cuatro en la mano del crupier). El número total de resultados posibles es 49 (es decir, 52 menos las tres cartas vistas).
La probabilidad de E es entonces P(E) = 11/49 = 0.2244 = 22.44%.
Ejemplo 2. Juego: Blackjack clásico (dos barajas).
Evento (E): Que el crupier se pase con la siguiente carta, si las cartas del crupier son Q5 y tus cartas son 7J.
Los resultados favorables para E son las cartas con valores de 7, 8, 9 y 10, en un número de 53 (siete 7s, ocho 8s, ocho 9s, y treinta cartas con valor 10; solo se contaron las cartas no repartidas). El número total de resultados posibles es 100 (es decir, 104 cartas en dos barajas menos las cuatro cartas vistas). La probabilidad de E es entonces P(E) = 53/100 = 0.53 = 53%.
Como ves, la probabilidad depende de la información disponible.
Por lo tanto, el mismo evento puede tener diferentes probabilidades en varios momentos del juego, dependiendo de la progresión del juego y del cambio en esa información.
Cada cambio en la configuración del juego cambia el espacio muestral y las probabilidades asociadas para los eventos.
La probabilidad es una medida objetiva de la posibilidad de que ocurra un evento. Refleja la probabilidad de que ocurra, expresada en términos matemáticos.
En los ejemplos anteriores, se midieron eventos simples en probabilidad, sin embargo, los juegos de azar y las apuestas implican eventos mucho más complejos, de varios tipos. Para tales eventos, la probabilidad puede calcularse utilizando las propiedades de la probabilidad y varias técnicas matemáticas.
Recuerda
La probabilidad es una medida matemática, que mide la posibilidad de eventos inciertos para los cuales la información disponible puede describirse matemáticamente. Se calcula como una proporción. En los juegos de azar, se puede calcular la probabilidad de cualquier evento siempre que determinemos el espacio muestral de resultados igualmente posibles.
Vimos que la probabilidad es una proporción, pero se puede expresar no solo como una fracción o porcentaje, sino también como posibilidades.
Las posibilidades son una forma de expresar la probabilidad de un evento en relación con la probabilidad del evento contrario.
Por ejemplo
Una probabilidad de 1/3 de ganar una apuesta puede interpretarse como que hay dos (2) posibilidades en tres de que pierdas la apuesta y una (1) posibilidad en tres de que la ganes.
Escribimos esto como 2 : 1 y leemos que hay dos contra una posibilidad de que ganes la apuesta. En general, una probabilidad se puede convertir en posibilidades mediante la fórmula: posibilidades = probabilidad / (1 - probabilidad).
Aunque los términos posibilidades y probabilidad tienen definiciones diferentes, expresan el mismo aspecto medible de un evento y usarlos indistintamente no es del todo un error.
Cuando preguntamos "¿Cuáles son las posibilidades de eso?" en relación con un evento incierto, podemos responder con una fracción/porcentaje como probabilidad numérica o con posibilidades (en contra).
Sin embargo, en la jerga de las apuestas, el término posibilidades también se usa con otro significado, relacionado con el pago de una apuesta.
Expresa el multiplicador por el cual la apuesta se multiplica y se da como pago en caso de que se gane la apuesta.
Por ejemplo
En el blackjack, unas posibilidades de 3 : 2 significan que si ganas al crupier con un blackjack, obtienes de vuelta una vez y media tu apuesta.
Cada juego de azar tiene su propio calendario de pagos, que incluye estas posibilidades para cada apuesta posible. Para evitar cualquier confusión entre las posibilidades con este significado y las posibilidades que significan probabilidad, la redacción correcta sería posibilidades de pago para el primero.
Ten en cuenta
Distingue entre posibilidades como la probabilidad de que ocurra un evento (probabilidad) y posibilidades como una tasa de pago dada en un juego. Las primeras deben ser calculadas, mientras que las segundas se indican en el calendario de pagos del juego.
Explicación de las probabilidades en el Blackjack
En el juego de cartas de blackjack, los eventos que podemos medir en términos de probabilidad se expresan como totales de puntos: las probabilidades de alcanzar 18, 19, 20 o 21 puntos, de obtener más de 18 puntos, o de superar los 21 puntos (bust).
En los juegos de cartas, los resultados son combinaciones de cartas y los cálculos de probabilidad utilizan cálculo combinatorio.
Por esto, calcular las probabilidades para estos juegos es más complicado que para otros juegos de azar. No todas las probabilidades se pueden calcular manualmente o mediante fórmulas explícitas. Cuando los eventos medidos son demasiado complejos, los matemáticos utilizan métodos específicos o incluso software basado en simulaciones para tales cálculos.
En el blackjack, los eventos expresados como totales de puntos pueden desglosarse en combinaciones de cartas.
Por ejemplo
Tener un total de 9 puntos con dos cartas es equivalente al conjunto de combinaciones de dos cartas que suman 9 puntos, es decir, (A, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5); cualquier combinación de estos valores puede desglosarse en combinaciones de cartas específicas (con valor y símbolo) - por ejemplo, (A, 8) es el conjunto que consiste en los pares de cartas específicas.
Para calcular la probabilidad de ese evento en una situación dada, debemos eliminar de estas combinaciones finales aquellas que contienen cualquier carta vista (las cartas de los jugadores ya repartidas y la carta visible del crupier), contar las combinaciones restantes y dividir su número por el número de todas las combinaciones posibles de dos cartas.
Sin embargo, las probabilidades en el blackjack son más difíciles de calcular que las probabilidades en el póker, por ejemplo.
Esto ocurre porque el esfuerzo combinatorio se extiende a la descomposición de cualquier total en sumas correspondientes a los valores de las cartas (particionamiento) para algunos eventos. El número de estas particiones está en el orden de cientos.
Probabilidades inmediatas en el Blackjack
Las probabilidades más fáciles de calcular en el blackjack son las llamadas probabilidades inmediatas. Estas son las probabilidades de los eventos que expresan un resultado con la próxima carta. Pueden ser calculadas por el jugador simplemente con un conteo mínimo.
Por ejemplo
En un blackjack con un solo mazo, si se te reparten 7, 8, A, la carta visible del crupier es 9 y quieres la probabilidad de obtener un total de 19 a 21 con la próxima carta.
Esta probabilidad entra en la categoría de probabilidades inmediatas y se calcula de la siguiente manera: Una carta favorable para el evento objetivo debería tener valor 3, 4 o 5.
Hay 3 × 4 = 12 de tales cartas y ninguna de ellas es visible, por lo que están todas en el mazo restante más la carta boca abajo del crupier, que son 52 - 4 = 48. La probabilidad buscada es entonces 12/48 = 1/4.
La fórmula general para tales probabilidades es
Si p(x) es la probabilidad de que se reparta una carta con valor x como la próxima carta, m es el número de mazos usados, n(x) el número de cartas con valor x ya repartidas (vistos), y N el número total de cartas ya repartidas, entonces:
- p(x) = [4m - n(x)] / (52m - N) si x es diferente de 10 y
- p(x) = [16m - n(x)] / (52m - N) si x es 10.
Si formulas tu evento como un rango para el total (lo que implica un rango para los valores que vendrán con la próxima carta), como en nuestro ejemplo anterior, debes aplicar la fórmula para cada uno de esos valores en el rango, luego sumar los resultados.
Por supuesto, la habilidad para realizar tales cálculos durante el juego, incluyendo el conteo de los valores restantes en el mazo, no está al alcance de todos, pero es entrenable.
Las fórmulas y resultados anteriores son aplicables en el caso de que el juego se juegue con un mazo completo o mazos de cartas y barajado y reparto clásico.
El blackjack moderno se juega muy a menudo con varios mazos (usualmente seis), barajados y separados por una carta en blanco en aproximadamente una quinta parte del mazo.
Esta regla impide tanto el cálculo de probabilidades inmediatas como el conteo de cartas, ya que los valores no están distribuidos uniformemente en la composición del mazo en juego.
Las probabilidades inmediatas juegan un papel en la evaluación de tu posición o ventaja en cada momento del juego, pero no reflejan toda la información relevante sobre quién tiene más probabilidades de ganar la mano al final.
Hay 3 razones para esto:
- Si en el momento de la evaluación tu total es bajo (por ejemplo, bajo 10), no necesariamente la próxima carta repartida hará la diferencia, sino las próximas dos o más cartas.
- Las probabilidades para ciertos totales cambian drásticamente con cada nueva carta repartida.
- Aunque puedas alcanzar tu total objetivo, llega el turno del crupier y las probabilidades del crupier se vuelven tan importantes como las tuyas.
Probabilidades de largo plazo en el Blackjack
Las probabilidades de largo plazo son las probabilidades de eventos que expresan un resultado con más de una carta por venir.
Normalmente, se consideran los eventos finales al estimar las probabilidades de largo plazo, como los totales a alcanzar o quién va a ganar.
Tales probabilidades se calculan o estiman usando la información disponible en una etapa intermedia del juego para eventos que reflejan el final del juego.
Por ejemplo
Las probabilidades de que alcances un total entre 19 y 21 como tu puntuación final, las probabilidades de que el crupier se pase, y las probabilidades de que tú te pases, estimadas en varios momentos del juego, son probabilidades de largo plazo.
Cuanta más información esté disponible para las probabilidades de largo plazo, más relevante es su medición. Esta condición se revierte, por supuesto, al número de cartas vistas.
Sin embargo, la mayoría de las probabilidades de largo plazo son en realidad imposibles de calcular de manera combinatoria, ya sea manualmente o mediante fórmulas explícitas.
La razón es la enorme cantidad de combinaciones posibles de cartas en las que un cierto total puede desglosarse como particiones y la progresión no lineal de los totales.
Los matemáticos han luchado desde la década de 1950 para resolver tales probabilidades al tratar con las estrategias óptimas en el blackjack.
La gran idea fue asignar una probabilidad constante de 1/13 para los valores individuales de cartas, excepto para las cartas con valor 10, a las cuales se les asignó una probabilidad de 4/13 (al ser cuatro veces más numerosas que las cartas con un valor menor a 10).
Por supuesto, tal suposición solo sería válida para un mazo abstracto de cartas de tamaño infinito, ya que las probabilidades cambian con cada nueva carta repartida.
Aun así, esta suposición permitió a los matemáticos modelar la progresión de los totales con las cartas repartidas como una cadena de Markov.
Definición
Una cadena de Markov es un modelo probabilístico que describe una secuencia contable de eventos posibles (estados) en la que la probabilidad de cada evento depende solo del estado alcanzado en el evento anterior.
Con este modelo, los matemáticos pudieron aproximar las probabilidades generales de largo plazo utilizando métodos recursivos e iterativos.
El gran premio de tal enfoque matemático fue la concepción de la estrategia óptima de blackjack basada en la maximización de la expectativa, entre 1956 y 1964.
Una distribución para las probabilidades apriorísticas generales de que el crupier alcance varios totales está en la siguiente tabla:
| Total | Probabilidad |
|---|---|
| 17 | 0.1451 |
| 18 | 0.1395 |
| 19 | 0.1335 |
| 20 | 0.1803 |
| 21 | 0.0727 |
| Blackjack | 0.0473 |
| Bust | 0.2816 |
Tabla: Probabilidades apriorísticas de largo plazo para que el crupier alcance de 17 a 21 puntos, blackjack, o bust.
Las probabilidades en la tabla anterior se determinan sin información adicional disponible, es decir, antes de que se reparta cualquier carta.
Obviamente, tales probabilidades se vuelven más relevantes si se calculan condicionalmente a la primera carta del crupier.
Esto se puede hacer de manera iterativa, calculando las probabilidades del valor final condicionadas a estados intermedios arbitrarios del crupier:
- Comienza con el valor del crupier 16. Los valores finales 17, 18, 19, 20 y 21 se alcanzan con una probabilidad de 1/13 cada uno. El crupier supera el valor 21 con una probabilidad de 8/13.
- Luego, considera el valor del crupier 15. De nuevo, los valores 17 a 21 se alcanzan con una probabilidad de 1/13 cada uno. El caso de que se reparta un as a continuación se revierte al caso ya considerado del valor del crupier 16. Los resultados finales 17 a 21 se alcanzan con una probabilidad de 1/13 + 1/169 = 14/169.
- Ahora, pasa al valor del crupier 14. Tenemos nuevamente una probabilidad de 1/13 para cada uno de los valores finales 17 a 21. Los dos valores ya considerados 15 y 16 se alcanzan con la misma probabilidad de 1/13. En total, los valores finales 17 a 21 se alcanzan con una probabilidad de 1/13 + 14/2197 + 1/169 = 196/2197.
Continuando este cálculo en el orden inverso de la cronología del juego, se pueden obtener las probabilidades para las 13 situaciones relativas a la primera carta del crupier.
Estas probabilidades están en la siguiente tabla:
Estas probabilidades no tienen en cuenta las cartas del jugador, ya que reflejan la información disponible antes de que el jugador comience a jugar.
Podemos ver en esta tabla en la última fila que las mayores probabilidades de que el crupier se pase son para su primera carta 5 o 6.
Podrías estar más interesado en cuáles son las probabilidades de ganar del jugador cuando decide quedarse con el total que ha alcanzado. Estas probabilidades se pueden obtener a partir de las probabilidades del crupier en la tabla anterior.
Por ejemplo
Si el jugador alcanza un total de 19 y la primera carta del crupier es 3, las probabilidades de ganar del jugador si decide quedarse con ese total se estiman de la siguiente manera:
- El crupier ganará esa mano o empatará si el crupier alcanza un total de 19, 20, 21 o blackjack.
- Podemos ver estas probabilidades en la tabla 4, en la columna correspondiente a 3: 0.1256, 0.1203, 0.1147 y 0.000.
- Sumándolas obtenemos 0.3606 como la probabilidad de que el jugador pierda o empate, por lo que 1 - 0.2350 = 0.6394 (alrededor del 64%) es la probabilidad del evento contrario (el jugador ganará la mano).
La siguiente tabla anota todas las probabilidades para que el jugador gane si decide no pedir más cartas, condicionado a la primera carta del crupier.
| Total del jugador | Probabilidad de pasarse (bust) |
|---|---|
| 21 | 1 |
| 20 | 0.92 |
| 19 | 0.85 |
| 18 | 0.77 |
| 17 | 0.69 |
| 16 | 0.62 |
| 15 | 0.58 |
| 14 | 0.56 |
| 13 | 0.39 |
| 12 | 0.31 |
| 11 o menos | 0 |
Tabla: Probabilidades de que el jugador se pase con una carta adicional.
Como mencioné, las probabilidades son más relevantes cuando se basan en más información (cartas repartidas), pero no todas las probabilidades pueden ser calculadas en el blackjack.
La estimación más básica es la probabilidad apriorística general de ganar el juego de blackjack: Tienes una probabilidad del 42.43% de ganar el juego, del 8.48% de empatar, y del 49.09% de perder.
Esta estimación se mantiene si no hay información adicional disponible, es decir, si no se han repartido cartas aún.
Por supuesto, estas probabilidades no son de mucha ayuda durante el curso del juego y solo la primera carta del crupier o la primera carta del jugador pueden cambiarla dramáticamente. Solo son ilustrativas para la pequeña ventaja que tiene la casa sobre el jugador en términos de azar.
Ten en cuenta
Las probabilidades del blackjack no pueden ser todas calculadas explícitamente y lo mejor que puedes hacer para informarte sobre ellas es tomarlas de tablas y fuentes de probabilidades confiables. Ya sean probabilidades inmediatas o de largo plazo, son más relevantes a medida que se basan en más información disponible (las cartas ya repartidas).
Por qué conocer las probabilidades del Blackjack es importante
Las probabilidades del blackjack son una medida objetiva de las posibilidades y ventajas contra el crupier durante el transcurso del juego.
Al observar detenidamente las tablas de probabilidades de esta sección, se pueden encontrar situaciones generales y particulares que reflejan ventajas o desventajas para las cuales se puede recomendar una acción estratégica específica.
En la tabla de probabilidades de largo plazo del crupier, tabla nº 4, obtenemos que las mayores probabilidades de que el crupier se pase (entre 39.4% y 42.3%) corresponden a si la primera carta del crupier es un 4, 5 o 6.
En un rango más amplio, las mayores probabilidades de que el crupier se pase corresponden a si su primera carta es del 2 al 6 (35.3% - 42.3%), luego las probabilidades disminuyen si la primera carta es del 7 al as.
Otras cifras que destacan por su variabilidad son que el crupier tiene las mayores probabilidades de alcanzar 19 puntos (alrededor del 35%) si su primera carta es un 9, y las mayores probabilidades de alcanzar 18 puntos (alrededor del 36%) si su primera carta es un 8.
Ahora, al pasar a la tabla de probabilidades del jugador, tabla nº 5, y teniendo en cuenta lo que encontramos en la tabla nº 4, observamos que:
- Permanecer con menos de 17 puntos gana con la mayor probabilidad si la primera carta del crupier es un 5 o 6 (41.62% - 42.32%), las cuales tienen asociadas las mayores probabilidades para que el crupier se pase.
- La probabilidad de que el jugador se pase con la siguiente carta es mayor (56% - 69%) para un total entre 14 y 17 puntos que para un total entre 12 y 13 (31% - 39%), según la Tabla 6.
Recomendación
Para la situación de tener 12-13 puntos contra un 5 o 6 del crupier, debes permanecer o dividir si tienes un par de 6s.
- Permanecer con 18 puntos gana con una probabilidad superior al 50% si la primera carta del crupier es un 3, 4, 5, 6 o 7, siendo máxima para el 6 o 7 (alrededor del 59% - 63%).
- La probabilidad de que el crupier se pase con su primera carta siendo un 6 es del 42.32%, pero con un 7 es solo del 26.23%.
Recomendación
Para la situación de tener 18 puntos contra un 6 del crupier, debes plantarte.
- Permanecer con 18 puntos tiene la menor probabilidad de ganar si la primera carta del crupier es un as (24.60%), seguido por un 10, 9 y 8 (32.36% - 37.33%).
- El crupier teniendo un as tiene aproximadamente un 59% de probabilidades de obtener más de 19 puntos sin pasarse y reduce las posibilidades de mejorar la mano si sacas una carta, ya que el as es un valor favorable para tu mano.
- La probabilidad de que te pases es del 77%. Las probabilidades del crupier de superar 18 puntos son del 53.16% cuando su primera carta es un 9.
Consejo profesional
Puedes asumir el (alto) riesgo de pedir carta contra un 10 del crupier.
Las probabilidades también pueden indicar recomendaciones sobre cómo manejar malas manos. Una mano así es aquella en la que has alcanzado un 16 duro.
Esto se debe a que el total de 16 está justo por debajo del umbral de 17 y las probabilidades de pasarse con la siguiente carta son relativamente altas, ya que no tienes un as en la mano (62%).
Una recomendación para esa mano es rendirse, si esta opción está permitida, para minimizar tu pérdida.
Recomendación
Cuando tengas un 16 duro contra un 5 o 6 del crupier, es mejor plantarse.
Cuando tu 16 duro está compuesto por un par de 8s, una decisión sabia sería dividirlos, excepto contra un as o una carta de 10 del crupier.
Para cada mano de blackjack dividida, las probabilidades inmediatas de sacar un as, 10 o una carta de figura son - según la fórmula de p(x) en la sección de probabilidades inmediatas - aproximadamente del 41% para el juego de un solo mazo y del 39% para el juego de seis mazos, lo cual son probabilidades relativamente altas y se vuelven aún mayores en conjunto con las dos manos a jugar.
Dependiendo de la configuración del juego en el momento del análisis, tales recomendaciones pueden hacerse en base a las probabilidades inmediatas, si estas son computables.
Al observar solo las probabilidades del blackjack, podemos señalar situaciones particulares como las mencionadas anteriormente donde el jugador o el crupier tiene una ventaja o desventaja relativa que puede convertirse en una victoria o en una minimización de la pérdida. Esta ventaja o desventaja es solo un reflejo de las probabilidades involucradas y, por lo tanto, debemos ser precavidos al interpretarlas en términos de ganar, porque:
- La probabilidad no dice nada sobre si el evento medido ocurrirá realmente en ese juego. Ni siquiera una probabilidad del 90% garantiza la victoria.
- Todas las probabilidades relevantes en el blackjack son condicionales. Es decir, podemos estimar una probabilidad de alcanzar un total, pero la probabilidad de ganar con ese total depende de lo que consiga el crupier y es esta última probabilidad la que cuenta para la anterior. Además, cada probabilidad cambia con cada nueva carta repartida, por lo que vale la pena confiar en ellas solo en el momento de la evaluación.
- La probabilidad es una medida de un evento incierto, sin embargo, como jugador de blackjack no jugarás solo un juego y perderás o ganarás según o contra las probabilidades, sino muchos juegos. Al final, no se trata de cuántas victorias en comparación con pérdidas has logrado, sino de cuánto dinero has ganado o perdido en general. Este resultado financiero no se expresa en probabilidad, sino en (matemática) expectativa.
Es esta tercera razón por la que las recomendaciones estratégicas en el blackjack no deben basarse únicamente en las probabilidades, sino en las expectativas.
Vimos que la definición de expectativa implica tanto las probabilidades como las cuotas de pago del blackjack.
La expectativa (EV) refleja un promedio estadístico de la ganancia o pérdida a largo plazo y las estrategias óptimas se basan en expectativas y no solo en probabilidades.
Es esta característica de las estrategias óptimas la que permite que una estrategia cubra cada posible situación de juego.
Es decir, una recomendación estratégica óptima se realiza en términos de acciones:
- Plantarse
- Pedir carta
- Dividir
- Doblar
- Rendirse
Para cada momento del juego o configuración de las manos de los jugadores y del crupier. Las probabilidades por sí solas no pueden proporcionar tal cobertura.
Las probabilidades informan, pero no pueden gobernar por sí solas las acciones estratégicas óptimas en el blackjack.
Dentro de una estrategia óptima, cada recomendación asociada con una configuración se basa en comparar las expectativas del jugador para cada acción posible y elegir aquella que maximiza la EV del jugador.
Como tal, una estrategia óptima solo funciona a largo plazo.
La primera estrategia óptima de blackjack (llamada estrategia óptima fija) fue ideada en 1956 por un grupo de matemáticos estadounidenses.
Se llama fija porque no considera la información disponible para el jugador sobre las cartas ya jugadas.
Esto cambió con el trabajo monumental de Edward Thorp (1961-1962) quien descubrió la estrategia óptima de conteo High-Low.
Ten en cuenta
Las probabilidades del blackjack son información objetiva sobre el juego y tu ventaja o desventaja durante el juego, pero debes ser precavido al depender de ellas:
- Primero, no confíes en ellas incondicionalmente, ya que reflejan una medida abstracta y no la realidad.
- En segundo lugar, son las expectativas y no solo las probabilidades las que cuentan en una estrategia óptima.
Probabilidades de Pago en Blackjack
Las probabilidades de pago (o tasas de pago) son el otro factor que se cuenta para el cálculo del valor esperado (EV) junto con las probabilidades.
Estas expresan la tasa a la cual el jugador recibe el pago de su apuesta después de que se juega la mano.
Existen 4 valores para las probabilidades de pago en blackjack: -1, 0, 1 y 3/2 (o 6/5, para una versión no clásica del juego), aplicados como se explica a continuación:
| Probabilidades de Pago | Reglas de Aplicación |
|---|---|
| -1 | Cuando el crupier obtiene una mano mejor que la tuya o un blackjack, se queda con tu apuesta. |
| 0 | No se intercambiará dinero si tú y el crupier obtienen el mismo valor total (un empate); te devuelven tu apuesta. |
| 1 (or 1 1) | Si venciste al crupier sin un blackjack, te devuelven tu apuesta y te pagan la misma cantidad. |
| 3/2 (or 3:2) | Cuando obtienes un blackjack y superas al crupier, te devuelven tu apuesta y te pagan 1.5 veces tu apuesta. |
| 6/5 (or 6:6) | Cuando obtienes un blackjack y superas al crupier, te devuelven tu apuesta y te pagan 1.2 veces tu apuesta. |
También existe una rara versión 2:1 del juego, con una regla de aplicación similar para las probabilidades de pago 2/1 (o 2:1).
Teniendo en cuenta las tasas de pago y las probabilidades asociadas, se pueden calcular las expectativas para cada posible apuesta en blackjack.
Por ejemplo, la tabla anterior se utiliza para obtener la siguiente tabla de expectativas:
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Gracias por votar.Dr Catalin Barboianu
